01 Kegelschnitte entdecken

Einstieg in das Thema

Was brauchst du als Basiswissen?

Du solltest Winkel vergleichen können. Außerdem brauchst du später den Satz des Pythagoras sowie Quadrate und Wurzeln.

Worum geht es?

Wird ein Doppelkegel von einer Ebene geschnitten, können vier unterschiedliche Kurven entstehen: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel. Solche Kurven treten auch bei Planetenbahnen, Scheinwerfern, Satellitenschüsseln und Bauwerken auf.

Was ist das Ziel?

Du kannst die vier Kegelschnitte erkennen. Du erklärst anhand der Lage der Schnittebene, warum eine bestimmte Kurve entsteht.

Erarbeitung

Theorie

Aufgaben

Aufgabe 1
Stelle nacheinander 0°, 25°, 45° und 60° ein. Ordne jedem Winkel die entstehende Schnittkurve zu.
Aufgabe 2
Beschreibe, wie sich die Schnittkurve verändert, wenn die Ebene von 0° bis 44° immer stärker geneigt wird.
Aufgabe 3
Erkläre, was beim Grenzfall von 45° besonders ist. Beziehe die Mantellinie des Kegels in deine Erklärung ein.
Aufgabe 4
Begründe, warum bei einer Neigung über 45° zwei getrennte Kurvenäste entstehen.
Aufgabe 5
Verändere nur den Abstand der Ebene von der Kegelspitze. Beschreibe, was sich ändert und was unverändert bleibt.
Aufgabe 6
Vergleiche die räumliche Schnittkurve links mit ihrer unverzerrten Ansicht rechts. Erkläre, warum beide Darstellungen verschieden wirken können, aber dieselbe Kurve zeigen.
Aufgabe 7
Ein Kegel besitzt Mantellinien mit 55° Neigung gegen die Waagerechte. Gib an, bei welchen Schnittwinkeln Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel entstehen.
Aufgabe 8
Bei einem unbekannten Kegel entsteht bei 20° eine Ellipse und bei 50° eine Hyperbel. Grenze den Neigungswinkel seiner Mantellinie möglichst genau ein.

Zusammenfassung

Was muss man wissen/können?

Ein ebener Schnitt durch einen Doppelkegel erzeugt einen Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Entscheidend ist die Neigung der Schnittebene im Vergleich zur Mantellinie. Der Abstand von der Spitze verändert die Größe, aber nicht die Art der Schnittkurve.

Was können anschließende Themen sein?

Als erste Kurve wird der Kreis untersucht. An ihm lässt sich der Zusammenhang zwischen Lage, Größe und Gleichung besonders übersichtlich erkennen.